Equazioni di primo grado

il vecchio quaderno di matematica

Definizione di identità

Es. (x + 2)² = x² + 4x + 4

proviamo a sostituire al valore il numero 3, ma va bene qualsiasi valore di , otteniamo:

(3 + 2) ² = 3² + 4·3 + 4
5² = 9 + 12 + 4
25 = 25

Identità: è un’espressione letterale verificata per qualsiasi valore che io do all’incognita.

Definizione di equazione

5x = 25 equazione di 1° grado ad una incognita

Quando un’uguaglianza non è verificata per qualsiasi valore che do alla x ma solo per un valore allora avrò una equazione. Il grado dell’equazione è dato dal valore più alto fra gli esponenti della stessa incognita.

5x + y = 1 equazione di 1° grado a due incognite

Esempio:
Per risolvere un’equazione di 1° grado ad una incognita devo trovare quell’unico valore numerico dell’incognita che soddisfa l’equazione.

Calcolo il m.c.m. tra 7 e 5 = 35

Elimino il denominatore grazie al 2° principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per una stessa quantità (diversa da 0) si ottiene un’equazione equivalente alla data. Ottengo:

5(3x – 1) – 7(2x – 4) = 35
15x – 5 – 14x + 28 = 35

Grazie al 1° principio di equivalenza posso trasportare i singoli componenti dell’equazione da una parte all’altra dell’uguale cambiandoli di segno. 1° principio di equivalenza: addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione la stessa quantità si ottiene un’equazione equivalente alla data.

(15x – 5 – 14x + 28) + 5 – 28 = (35) + 5 – 28
15x – 14x = 35 + 5 – 28
x = 12 Radice o soluzione dell’equazione

Nota: Termini uguali con lo stesso segno da parti diverse si annullando direttamente
es.:

Equazioni letterali di 1° grado

Esempio: ax + 4c = b – 2x

Importante: la prima cosa da fare è distinguere tra incognita e parametri. L’equazione va risolta rispetto all’incognita in funzione dei parametri, trattando questi come numeri noti. In questo caso l’incognita è x. Si portano i monomi contenenti l’incognita al primo membro, e gli altri al secondo

ax + 2x = b – 4c
Utilizziamo ora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione
(a + 2)x = b – 4c
e dividendo per (a + 2)

In questo caso dobbiamo sempre supporre a ≠ 2. La dizione correttà è:

è la radice della nostra equazione per a ≠ 2